MATELANGUA ONCE

Números Irracionales
Representación en la Recta Numérica.

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Propiedades de los Números  Reales

Desigualdades e Inecuaciones
SUCESIONES

Una Sucesión de números reales a1, a2, a3, a4….an... es  una secuencia ordenada de infinitos números reales.

Cada uno de los números de la misma se llama término de la sucesión.

Los números naturales de llaman indices, e indican el lugar que ocupa el término de la sucesión. A cada número natural (índice) se le hace corresponder un número real (término).

Al término an se le llama término n-ésimo o término general, y es la expresión que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma.

Se acostumbra representar la sucesión por el conjunto ordenado de sus términos, con o sin paréntesis, o bien por su término general.

a1,a2,a3,a4,.....an  o bien (an), donde  n pertenece a N.

Tipos de sucesiones

SUCESIÓN INFINITA: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Los valores f(l), f(2),f(3),,,. Se llaman términos de la sucesión.

Hay muchas maneras de simbolizar una sucesión, por ejemplo: {1, 5, 7, 9, ... }; esta forma se usa cuando se tiene claridad sobre cuáles son los términos que siguen en la sucesión.

Sin embargo es muy útil saber cómo se forma el término de orden n, es decir, el término genérico o término n-ésimo de la sucesión. Para esto se da una fórmula que permita calcular cualquier término.

Como una sucesión es una función, también es posible representarla por medio de una gráfica cartesiana; dicha gráfica consta de puntos aislados que no están conectados.

También la podemos representar en la recta real.

Sucesiones Aritméticas
Sucesiones Geométricas
Sucesión de Fibonacci

El Interés Compuesto es una sucesión Geométrica

Series

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

a1 + a2 + a3 + a4  + a5…… 

Lo cual suele escribirse en forma más compacta

Con el símbolo de sumatorio.

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito "n" de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que "n" crece indefinidamente.

Serie Aritmética
Serie Geométrica
Serie Aritmética
Serie Geométrica
Distancia entre dos puntos
Punto Medio

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

 

 

 

 

d = 5 unidades

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.

Distancia entre dos puntos
Punto Medio
Funciones y Gráficas

Funciones Reales

Concepto de función
Una función es una correspondenciaentre dos conjuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo uno del conjunto final, la imagen. 
Se relacionan así dos variables numéricas que suelen llamarse x e y,


x:variable independiente
y:variable dependiente


x → y=f(x)

Gráfica de una función

Para ver el comportamiento de una función, f:x → y, recurrimos a su representación gráfica sobre los ejes cartesianos, en el eje de abscisas (OX) la variable independiente y en el de ordenadas (OY) la independiente; siendo las coordenadas de cada punto de la gráfica: (x, f(x)).

Hay unos puntos que tienen especial interés, los que la gráfica corta a los ejes coordenados. Para calcularlos:

  • Corte con el eje OY
    Se hace x=0 en la fórmula de la función.

  • Cortes con el eje OX:
    Se resuelve la ecuación f(x)=0

Dominio y recorrido

Dada una función f:x → y

  • Se llama dominio de f al conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se indica como Dom f.
    El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un f(x).

  • El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y, esto es el conjunto de las imágenes.

Funciones definidas a trozos

Hay un tipo de funciones que vienen definidas con distintas expresiones algebraicas según los valores de x, se dice que están definidas a trozos.

Para describir analíticamente una función formada por trozos de otras funciones, se dan las expresiones de los distintos tramos, por orden de izquierda a derecha, indicando en cada tramo los valores de x para los que la función está definida.

En la escena puedes ver algunos ejemplos de este tipo de funciones y su representación gráfica.

Propiedades de las funciones

Continuidad y discontinuidades
La primera idea de función continua es la que se puede representar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.


Una función y=f(x) se dice que es continua en x=a si
  • La función está definida en x=a, existe f(a)=b.
  • Las imágenes de los valores próximos a a tienden a b.

Cuando una función no es continua se dice que presenta alguna discontinuidad. Hay varias razones por las que una función no es continua en un punto:
    • Hay un "agujero" en la gráfica, bien porque la función no está definida en el punto, bien porque su valor queda separado del resto.
    • Presenta un salto.
    • El valor de la función crece (o decrece) indefinidamente cuando nos acercamos al punto.

Funciones periódicas 
En la naturaleza y en tu entorno habitual hay fenómenos que se repiten a intervalos regulares, como el caso de las mareas, los péndulos y resortes, el sonido...
Las funciones que describen este tipo de fenómenos se dicen periódicas.

 
Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. El valor de este intervalo se llama periodo.

f(x+periodo)=f(x)

Función Periodica

Simetrías
La gráfica de algunas funciones puede presentar algún tipo de simetría que si se estudia previamente, facilita su dibujo.

  • Una función es simétrica respecto al eje OY, si f(-x)=f(x). 
    En este caso la función se dice PAR.

     

  • Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando 
    f(-x)=-f(x). 
    En este caso la función se llama IMPAR

Límites

El concepto de límite marcó una gran diferencia entre las matemáticas fundamentales y el cálculo. El nacimiento del cálculo infinitesimal permitió el desarrollo de ideas importantes en matemáticas y física. Conocer la velocidad y la aceleración de un objeto a partir de la posición o conocer la posición a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la aceleración, involucra procesos propios del cálculo.

Los límites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radiactivos, inversiones de capital y velocidades límites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada.

Límite de Funciones por Trazos
FUNCIÓN POR TRAZOS

Una función definida a trozos es aquella en la que para cada valor de x que se le pueda asignar, la función puede variar,como en el siguiente ejemplo:

 

 

 

 

 

en el que si x es menor o igual que 1, la función que usaremos es la primera, mientras que si x es mayor que 1, usaremos las segunda.

A continuación, veremos cómo se calculan los límites para este tipo de funciones. En este caso, suponemos que nos piden el siguiente enunciado:
- Calcula el límite de la función definida a trozos cuando x tiende a 0, 1 y 3.

Empezaremos por el límite de 0, que no presenta ningún problema aparente, ya que aparece la indeterminación 0/0, que se puede resolver factorizando y sustituyendo:




El siguiente paso es hacer el límite de 1:

 



En este caso en concreto, es obligatorio hacer los límites laterales, ya que en esta función definida a trozos, el número en el cual cambia la expresión que se tiene que utilizar coincide con el límite que tenemos que calcular, y así lo hacemos:




Como era de esperar, observamos que los límites laterales son diferentes, ya que las funciones son diferentes.

 

 



Por último, calculamos el límite cuando x tiende a 3, que no presenta problema alguno:

 



Con esto, podemos calcular la continuidad de una función en un punto.

LIMITES EN EL INFINITO

Pendiente de una curva

La pendiente de la curva en el punto P es la pendientede la recta tangente en P. En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula: supuesto que el límite exista.

Ecuación de la Recta Tangente a una Curva

Concepto de Derivada

La derivada de y= f(x) en Xo, es el valor de f'(Xo) definido mediante el límite:

Se puede leer " f prima de Xo", "derivada de f en Xo" o "derivada de f respecto a X para X=Xo"

Para desarrollar con claridad el proceso que conduce a la derivada f'(Xo), se puede utiizar los siguientes pasos:

Para representar la derivada suelen utilizarse las siguientes notaciones:

f'(Xo), y'(Xo), Df(Xo), Dy(Xo), df(Xo)/dx , dy(Xo)/dx.

Calculamos

Hallamos

Simplificamos

Calculamos

Prueba  Saber 11°

Es hora de poner en práctica todos tus conocimientos y no dejar nada a la suerte, la preparación es el camino al éxito.

Derivada del seno demostración
Derivada del coseno demostración

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